Field Extensions

Lemma 1. $[K:F]=[K:E][E:F]$， 如果$K/E/F$是域扩张.

若 $[K:F]$ 有限，则称$K/F$是有限扩张.

构造

通过向域$F$中添加元素来扩张.

设 $K/F$, $S\subseteq K$，$S$是$K$的子集，$F(S)$表示$F$和$S$生成的最小扩张.

Lemma 2. $F(S)=\{\frac{f(u_1,\dots,u_n)}{g(u_1,\dots,u_n)}: f,g\in F[x_1,\dots,x_n],g|_u\neq 0,u_i\in S\}$

若$S$有限，则称$F(S)$为$F$上的有限生成扩张.

Proof. 首先$RHS$是域.

最小$\Longrightarrow$ $F(S)\subseteq RHS$；

$RHS$是域，$F\subseteq RHS$，$S\subseteq RHS$，故$F(S)\subseteq RHS$. $\blacksquare$

Corollary 3. 如果$\alpha\in F(S)$，存在有限子集$S_0\subseteq S$，使得$\alpha\in F(S_0)$.

Lemma 4. $F(S_1\cup S_2)=F(S_1)(S_2)=F(S_2)(S_1)$.

Proof. $F(S_1\cup S_2)$ 是 包含$F$和$S_1\cup S_2$的最小域，故$F(S_1\cup S_2)\subseteq F(S_1)(S_2)$.

$F(S_1)(S_2)$ 是包含$F(S_1)$ 和 $S_2$的最小域，故$F(S_1)(S_2)\subseteq F(S_1\cup S_2)$. $\blacksquare$

Corollary 3 和 Lemma 4 说明，域扩张的构造是可交换的， 而且可以通过有限次的构造得到（?）. 总之，域扩张可归结为单扩张.

单扩域

$K/F$ 中至少有一个元素是超越的，则称$K/F$是超越扩域. 否则为代数扩域. 例如，域$F$上的有理函数域$F(x)=\{\frac{f}{g}:f,g\in F[x],g\neq 0\}$是超越扩域（不存在$f$使得$f(x)=0$）.

A fact: $\text{frac}(F[x])=F(x)$ where $F[x]$ is an integral domain for every field $F$. Note that $x$ here is merely a symbol.

Similarly we have for $u\in K/F$, $\text{frac}(F[u])=F(u)$.

Theorem 5. $u\in K/F$, $F(u)=\{f(u):f\in F[x]\}$

• $u$ is algebraic with minimal poly $f(x)\in F[x]$, $\deg f=n$, then $F(u)\cong F[x]/(f)$, $[F(u):F]=n$, and $F(u)=F[u]$;
• $u$ is transcendental. Then $F(u)\cong F(x)$.

Sketch of Proof. Consider ring homomorphism $\pi:F[x]\mapsto F(u)$ with $\pi(g(x))=g(u)$. With isomorphism thm we have $F(u)\cong F[x]/\text{Im}\;\pi$.

Corollary 6. $u,v\in K/F$ are algebraic on $F$. There exists $\sigma:F(u)\cong F(v)$ where $\sigma(u)=v$, $\sigma|_F=\mathbf{Id}$ if and only if $u$ and $v$ share the same minimal polynomial.

Corollary 7. $u,v\in K/F$ are transcendental on $F$. There exists $\sigma:F(u)\cong F(v)$ where $\sigma(u)=v$, $\sigma|_F=\mathbf{Id}$.

正规扩域

Definition $K/F$是正规扩域，如果对于每一个$f\in F[x]$，$f(u)=0,u\in K$, 那么$f$的所有零点都在$K$中.

正规：$\mathbb{Q}[\sqrt{2}],\mathbb{Q}[i]$

非正规：$\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$

考虑$x^3-1$, 根为$1,\zeta,\zeta^2$

$\mathbb{C}$ 是其任意子域的正规扩域.

应用：尺规作图

(0,0) 和 (0,1) 是可做出的；

已作出两点$p_0,p_1$, 那么 直线$p_0p_1$、以$p_0$为圆心 经过$p_1$的圆是可做出的；

直线和直线、圆和圆、圆和直线的交点是可做出的.

每一次圆和直线（或圆和圆）相交，在域$\mathbb{Q}$ 中添加了$\sqrt{\Delta}$.

则如果$p$可做出，那么$p$的坐标是$\mathbb{K}$的元素，其中 $[K:\mathbb{Q}]=2^r$.

Corollary. 正n边形是可做出的当且仅当$\varphi(n)$是2的次方幂.

Proof.

$``\to"$

$[\mathbb{Q}(\omega_n):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\omega_n):\mathbb{Q}(cos\frac{2\pi}{n})][\mathbb{Q}(cos\frac{2\pi}{n}):\mathbb{Q}]$

$\omega_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ 是方程$x^2-2cos\frac{2\pi}{n}x+1=0$的根，故 $[\mathbb{Q}(\omega_n):\mathbb{Q}(cos\frac{2\pi}{n})]=2$.

若正n边形可做出，则$[\mathbb{Q}(cos\frac{2\pi}{n}):\mathbb{Q}]$是2的次方幂，那么$[\mathbb{Q}(\omega_n):\mathbb{Q}]$也是2的次方幂. 已知$\omega_n$是方程$x^n-1=0$的根，下面求$[\mathbb{Q}(\omega_n):\mathbb{Q}]$.

分圆多项式$\Phi_n(x)=\prod_{\text{gcd}(k,n)=1}(x-e^{\frac{2k\pi i}{n}})$是$\omega_n$的极小多项式，故$[\mathbb{Q}(\omega_n):\mathbb{Q}]=\deg\Phi_n(x)=\varphi(n)$.

Do not eat a fat man at one time